PRESENTACION 3 Susana M.C.

Fractales matemáticos en tres dimensiones

Introducción a los fractales
La geometría fractal estudia las formas que tienen dimensión fraccionaria. Se puede creer que con las tres dimensiones del espacio se puede representar cualquier cuerpo, pero eso no es así.
Un ejemplo clásico es el de intentar medir la longitud de costa de una isla. Sobre un mapa a gran escala el perímetro tendrá un valor determinado, pero si se busca otro plano a menor escala, aparecerán tramos antes inapreciables que modificarían la longitud total. Desplazándose a la isla en cuestión, se puede intentar medir sobre las rocas dicha longitud, pero aún así no sería una medida acertada. Cada roca tiene entrantes y salientes que no podemos controlar. No digamos ya si se analiza a escala atómica.
Se llega a la conclusión que su longitud es infinita. La línea de costa es un fractal natural. Sus medidas dependen del nivel de precisión que se necesite.

Los fractales suelen caracterizarse por un elemento básico que se repite un número infinito de veces y a diferentes escalas sobre toda su extensión.

Muchos elementos de la naturaleza tienen esa estructura. Un simple árbol es un fractal, donde de un tronco inicial salen unas ramas que se descomponen a su vez en otras. También en muchas hojas podemos apreciar elementos que se repiten a diferentes escalas.

•                Con las matemáticas hemos podido entender muchos de los procesos de la naturaleza y, por qué no, también podemos intentar representar esos elementos o inventarnos otros más enigmáticos si cabe.

En este artículo voy a intentar que conozcáis uno de los fractales matemáticos más asombrosos que existen:

                                                    “El Conjunto de Mandelbrot”.
 

El Conjunto de Mandelbrot

• De un estudio puramente matemático del comportamiento de los números complejos al aplicarles funciones iterativas (en las que el resultado de una operación sirve como base para la misma operación f(n+1)=f(n)+C), Mandelbrot ideó, hace ya más de 15 años, una representación gráfica ciertamente asombrosa, que haciendo honor a su nombre, se llamo "El Conjunto de Mandelbrot".

• Ya que está basada en un conjunto infinito de números (los números complejos), la imagen es infinitamente grande, pero aplicando una serie de restricciones podemos llegar a representarla con el nivel de detalle que queramos.
• Para tener una idea general de cómo se crea el conjunto gráficamente, hay que plantearse que a cada punto de la imagen le corresponde un número complejo que suele estar representado por dos coordenadas. Para que el dibujo sea proporcionado, los números asociados a cada punto se incrementan en un valor constante tanto horizontal como verticalmente.

Ejemplo: Una imagen de 4*4 pixeles con los números complejos asociados:

	0	1	2	3
0	(0,0)	(0,6)	(0,12)	(0,18)
1	(6,0)	(6,6)	(6,12)	(6,18)
2	(12,0)	(12,6)	(12,12)	(12,18)
3	(18,0)	(18,6)	(18,12)	(18,18)

Cuando ya hemos realizado dicha asociación, pasamos a aplicar una función iterativa a cada punto, donde el resultado de la operación vuelve a ser tratado como entrada en la siguiente iteración de la función. Se establece un número máximo de iteraciones para que el proceso no sea infinito. Si mientras se realizan los cálculos llegamos a unos resultados determinados de antemano, el proceso se para en ese instante. El número de veces que hayamos realizado es un indicador que nos permite elegir un color determinado para ese punto.

Ejemplo: Una vez aplicada la fórmula a cada punto obtenemos los índices:
 

	0	1	2	3
0	3	4	4	4
1	3	3	4	5
2	3	3	5	5
3	4	5	5	6

al 3 le asignamos el color azul, al 4 el rojo, al 5 el amarillo y al 6 el gris.

• Existen programas que nos permiten explotar tanto este conjunto como muchos otros creados a raíz de él. Suelen partir de una vista general y gráficamente, mediante el uso del teclado o del ratón, nos permiten seleccionar un área a ampliar; el programa redibuja dicha área aumentando la resolución y nos permite volver a ampliarla nuevamente (cada vez los cálculos serán más difíciles y el tiempo de ejecución será por lo tanto mayor).
• Ejemplo: Si la base de la imagen inicial es:

	0	1	2	3
0	(0,0)	(0,6)	(0,12)	(0,18)
1	(6,0)	(6,6)	(6,12)	(6,18)